Алгебраическое доказательство одного из частных случаев Великой теоремы Ферма

Здравствуйте друзья, коллеги и все кто неравнодушен к математике.

Хочу предоставить на Ваш суд моё доказательство теоремы Ферма частного случая теоремы Ферма для таких x, y, z, что x2 + y2 = z2.

Сразу хочется отметить, что это тупиковая ветка - которая не имеет дальнейшего развития и приведена здесь исключительно с целью уберечь Вас от этих "граблей". Тупиковой она является, потому что остаётся неопределённость справедливости теоремы для случаев, когда x2 + y2  z2. То есть не исключена ситуация, когда xn + yn = zn, но при этом x2 + y2  z2. Например для случаев, когда x + y > z. Тем не менее данное доказательство уже может исключить все варианты для x + y <= z, и предоставить читателям доказать теорему для всех случаев, когда x + y > z.

Данное доказательство - всего лишь творчество автора, не боле того.

Формулировка

Для любого натурального числа n > 2 уравнение
xn + xy = zn
не имеет решений в целых числах x > 0, y > 0, z > 0 таких, что x2 + y2 = z2.

Доказательство

Возьмём за основу доказательства уже доказанную теорему Пифагора, точная формулировка которой такова: для любого прямоугольного треугольника, сумма квадратов его катетов равна квадрату его гипотенузы.

Это можно записать как x2 + y2 = z2

Для этого равенства справедливо следующее утверждения: x < z и y < z. Это следует из определения гипотенузы: гипотенуза - это наибольшая из сторон не прямоугольного треугольника расположенная на против прямого угла. 

Итак, предположим теорема Ферма верна и что xn + yn < zn. Попытаемся это доказать.

Для начала докажем частный случай для n = 3: x3 + y3 < z3

Итак:

x3 + y3 < z3 => x * x * x + y * y * y < z * z * z

Из свойства равенства, которое позволяет до умножать обе его части на одно и то же число, следует. Что для сохранения равенства необходимо обе его части умножить на один множитель.

Преобразуем левую часть следующим образом:

x * x * x + y * y * y = 
{
x > y, x * ( x * x + y / x * y * y)
y > x, y * ( x / y * x * x + y * y)
x = y, x * (x * x + y * y)
}

Рассмотрим первый случай: x > y

x * ( x * x + y / x * y * y ) < z * z * z. Пойдём от обратного и докажем, что x * ( x * x + y / x * y * y ) = z * z * z невозможно.

Итак покажем, что x * x + y / x * y * y < x * x + y * y. Это следует из того, что x > y. Соответственно y / x < 1. Соответственно y / x * y * y будет меньше чем y * y (из свойства чисел, которое утверждает, что если любое число больше 1 домножить на число меньше 1, но больше 0, то полученное число будет меньше чем изначальное и это эквивалентно делению на целое число).

Соответственно x * x + y * y < x * x + y / x * y * y
Так как x, y > 0, то x * x > 1. И x * x + y / x * y * y тоже всегда больше единицы.
Из этого следует, что x * x + y / x * y * y < z * z
Соответственно домножив обе части на z (на одинаковый множитель) - получим z * ( x * x + y / x * y * y) < z * z * z

Если учесть, что x < всегда меньше z, но больше 1 (из условия теоремы Ферма, не может быть верно xn + yn <= zn, если x > z, потому что, если x > 0, y > 0 и x > z, то для любой степени n >= 0, xn + yn > zn), то z можно заменить на x в левой части неравенства, сохранив его справедливым.

Получим x * (x * x) + y * ( y / x * y * y) < z * z * z
Раскрыв скобки - получим: x * x * x + y * y * y < z * z * z -> x3 + y3 < z3, что и требовалось доказать.

Второй случай: y > x, доказывается аналогично

Третий случай: x = y

Из свойства равенства, о том что обе его части можно домножить на одно и то же число, следует, что
z * x * x + z * y * y = z * z * z
Соответственно
z * ( x * x + y * y) = z * z * z
Поскольку x < z, то
x * (x * x + y * y) < z * z * z.
Раскрыв скобки получим:
x * x * x + z * y * y < z * z * z, при x = y =>  x * x * x + y * y * y < z * z * z => x3 + y3 < z3, что и требовалось доказать.

Доказательство для n-той степени

Если в предыдущем доказательстве для n = 3 заменить множители следующим образом, z  -> zm, x -> xm,  y -> ym, то нужно доказать, что xm * x2 + ym * y2 < zm * z2 при m > 0. Если взять во внимание следующие свойства целых чисел: 

  • Если x < y, то xm < ym, для любого m >= 1
  • Если x > 1, то xm > 1

В данном случае доказательство xm * x2 + ym * y2 < zm * z2 становится аналогичным доказательству для n = 3 и в последствии приводится к выражению вида: xn + yn < zn потому что степени 2 и m складываются и результирующая степень n будет равна 2 + m, что при условии m > 0 обеспечит условие n > 2.

Таким образом утверждение теоремы Ферма о том что уравнение xn + yn = zn для любого натурального n > 2 и для любых целых x > 0, y > 0, z > 0, таких что x2 + y2 = z2 (дополнительное условие для данного частного случая) не имеет решений - доказано.

Ссылки

Спасибо за внимание.

Всем хорошей жизни и до новых встреч.

Комментарии закрыты

Page List

Calendar

<<  Сентябрь 2019  >>
ПнВтСрЧтПтСбВс
2627282930311
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30123456

Большой календарь

Month List